New PDF release: Allgemeine Algebra: mit einem Anhang „Abstrakte Datentypen“

By Thomas Ihringer

ISBN-10: 3322926761

ISBN-13: 9783322926760

ISBN-10: 3519120836

ISBN-13: 9783519120834

Das vorliegende Lehrbuch wendet sich vor allem an Studenten der Ma­ thematik, aber auch an Studenten der Informatik und ganz allgemein an mathematisch vorgebildete Leser mit Interesse an moderner Algebra. In erster Linie kann guy die Allgemeine Algebra als eine übergreifende Theo­ rie der verschiedenen algebraischen Einzeldisziplinen (wie z. B. Gruppen-, Ring-und Verbandstheorie) verstehen, in der die diesen Gebieten gemein­ samen Phänomene und Methoden herausgearbeitet werden. Daruberhinaus hat die Allgemeine Algebra, wie jedes andere eigenständige mathematische Gebiet, ihre eigenen Methoden und Betrachtungsweisen entwickelt. Die­ ses Buch möchte eine Einführung in grundlegende Begriffe und Ergebnisse der Allgemeinen Algebra geben. Die ersten sieben Kapitel behandeln den Standardstoff einer Einführungsvorlesung in die Allgemeine Algebra. In den beiden restlichen Kapiteln werden dann zwei der faszinierendsten Entwick­ lungen der letzten Jahre vorgestellt, nämlich die Kommutatortheorie der Allgemeinen Algebra sowie R. McKenzies völlig neuartige Strukturtheorie endlicher Algebren. Die aktuelle Bedeutung der Allgemeinen Algebra liegt aber nicht nur in der Entwicklung interessanter, weitreichender Methoden innerhalb des Gebiets selbst, sondern auch in den engen Verbindungen zu verschiedenen Bereichen der Informatik, so daß Kenntnisse in Allgemeiner Algebra gerade aus Sicht der Informatik nützlich sind. Neue Begriffe werden in diesem Buch nach Möglichkeit erst dort ein­ geführt, wo sie wirklich benötigt werden. Dadurch soll die Theorie auch für den Anfänger durchschaubar bleiben, und gleich im ersten Kapitel kann mit den Grunddefinitionen der Allgemeinen Algebra begonnen werden, ohne die sonst oft üblichen Vorschübe über Mengen, Hüllensysteme, Verbände oder Kategorien.

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Ein Element a E L heißt kompakt, falls es zu jeder Menge B ~ L mit a ~ VBeine endliche Teilmenge B o ~ B gibt mit a ~ VB o. Ein algebraischer Verband ist ein vollständiger Verband, in dem jedes Element das Supremum kompakter Elemente ist. 'frivialerweise ist jeder endliche (nichtleere) Verband algebraisch. Der Verband (IN U {oo},~) ist algebraisch, da alle Elemente von IN kompakt sind. Der Verband (IR U {-oo, +oo}, ~) ist nicht algebraisch, da -00 das einzige kompakte Element ist. 13 Für jedes induktive Hüllensystem H ist (H,~) ein algebraischer Verband.

Unter einem Ideal eines Ringes R = (R, +, -,0,·) versteht man einen Unterring I mit der zusätzlichen Eigenschaft, daß rI ~ I und Ir ~ I für alle r E R gilt. Für jedes Ideal I sei 8 1 die Äquivalenzrelation auf R mit den Äquivalenzklassen a + I, a E R. Beweisen Sie analog zu 1 Einige Grundbegriffe 34 Aufgabe 17, daß durch I ...... 8 1 eine bijektive Abbildung von der Menge aller Ideale auf die Menge aller Kongruenzrelationen von R gegeben wird. 19. Formulieren und beweisen Sie eine zu den vorigen beiden Aufgaben analoge Aussage über Vektorräume.

Für die in der folgenden Skizze durch die Einteilung in Äquivalenzklassen beschriebenen Äquivalenzrelationen 8 und '11 bestimme man 81\W, 80'11, W08, 8vw. o 0 0 0 o 0 0 0 e 14. z;j2, +, -, 0) (es gibt nur einen), und geben Sie dann die Kongruenzklassen von Kern cp an. z;j2 = {O, I} wird modulo 2 gerechnet. 15. Es wird nochmals die Algebra A aus Aufgabe 4 betrachtet. (a) Wieviele Translationen hat A? (b) Man bestimme sämtliche Kongruenzrelationen auf A. (c) Man beschreibe die Faktoralgebren durch konkrete Angabe von Verknüpfungstafel bzw.

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Allgemeine Algebra: mit einem Anhang „Abstrakte Datentypen“ by Thomas Ihringer


by Brian
4.3

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